它當然對於畢達哥拉斯派的哲學有著重要的關係。
發見了無理數的最重要的後果之一就是攸多克索（約當西元前408—355年）
之發明關於比例的幾何理論。
在他以前，只有關於比例的算數理論。
按照這種理論，如果a乘d等於b乘c，則a比b就等於c比d。這種界說，在還沒有有關無理數的幾何理論時，就只能應用於有理數。然而攸多克索提出了一個不受這種限制的新界說，其構造的方式暗示了近代的分析方法。這一理論在歐幾里德的書裡得到了發展，並具有極大的邏輯美。
攸多克索還發明瞭或者是完成了「窮盡法」
，它後來被阿幾米德運用得非常成功。
這種方法是對積分學的一種預見。
譬如，我們可以舉圓的面積問題為例。你可以內接於一個圓而作出一個正六邊形，或一個正十二邊形，或者一個正一千邊
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603卷一古代哲學
或一百萬邊的多邊形。
這樣一個多邊形，無論它有多少邊，其面積是與圓的直徑的平方成比例的。
這個多邊形的邊越多，則它也就越接近於與圓相等。你可以證明，只要你能使這一多邊形有足夠多的邊，就可以使它的面積與圓面積之差小於任何預先指定的面積，無論這一預先指定的面積是多麼地小。
為了這個目的，就引用了「阿幾米德公理」。這一公理（多少加以簡化之後）是說：假設有兩個數量，把較大的一個平分為兩半，把一半再平分為兩半，如此繼續下去，則最後就會得到一個數量要小於原來的兩個數量中較小的那一個。換句話說，如果a大於b，則必有某一個整數n可以使2n乘b大於a。
窮盡法有時候可以得出精確的結果，例如阿幾米德所做的求拋物線形的面積；有時候則只能得出不斷的近似，例如當我們企圖求圓的面積的時候。求圓的面積的問題也就是決定圓周與直徑的比率問題，這個比率叫作π。
阿幾米德在計算中使用了27的近似值，他做了內接的與外切的正96邊形，從
而證明了π小於317並大於31071。這種方法可以繼續進行到任何所需要的近似程度，並且這就是任何方法在這個問題上所能盡的一切能事了。使用內接的與外切多邊形以求π的近似值，應該上溯到蘇格拉底同時代的人安提豐。
歐幾里德——當我年青的時候，它還是唯一被公認的學童幾何學教科書——約當西元前300年，即當亞歷山大和亞里士多德死後不久的幾年，生活於亞歷山大港。他的《幾何原本》絕大部分並不是他的創見，但是命題的次序與邏輯的
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第二篇蘇格拉底、柏拉圖、亞里士多德703
結構則絕大部分是他的。一個人越是研究幾何學，就越能看出它們是多麼值得讚歎。他用有名的平行定理以處理平行線的辦法，具有著雙重的優點；演繹既是有力的，而又並不隱飾原始假設的可疑性。比例的理論是繼承攸多克索的，其運用的方法本質上類似於魏爾斯特拉斯所介紹給十九世紀的分析數學的方法，於是就避免了有關無理數的種種困難。然後歐幾里德就過渡到一種幾何代數學，並在第十卷中探討了無理數這個題目。在這以後他就接著討論立體幾何，並以求作正多面體的問題而告結束，這個問題是被泰阿泰德所完成的並曾在柏拉圖的《蒂邁歐篇》裡被提到過。
歐幾里德的《幾何原本》毫無疑義是古往今來最偉大的著作之一，是希臘理智最完美的紀念碑之一。當然他也具有典型的希臘侷限性：他的方法純粹是演繹的，並且其中也沒有任何可以驗證基本假設的方法。這些假設被他認為是毫無問題的，但是到了十九世紀，非歐幾何學便指明瞭它們有些部分是可以錯誤的，並且只有憑觀察才能決定它們是不是錯。。
誤。
歐幾里德幾何學是鄙視實用價值的，這一點早就被柏拉圖所諄諄教誨過。