烏龜接受a和b的前提，但是拒絕接受它們能夠證實結論。這使阿喀琉斯加進一個假設的建議。

a）兩件東西都等於第三件東西，則這三件東西都相等。

b）這個三角形的二條邊等於mn。

c）若a和b是對的，z也是對的。

z）這個三角形的二條邊相等。

經簡單闡明之後，烏龜接受a、b和c是對的，但不接受z也是對的。阿喀琉斯怒氣衝衝地說：

d）若a、b和c是對的，z也是對的。

卡羅爾認為，希臘人的悖論包含著正在無限縮小的距離，而他提出的方案中，距離在擴大。

最後一個例子，也許是最精彩的，但也是同芝諾的區別最小的。威廉·詹姆斯（《哲學中的一些問題》，一九一一，第一百八十二頁）拒絕要用十四分鐘，因為在這之前先要用去七分鐘，七分鐘之前，先要用去三分半鐘，在三分半鐘之前，先要用去分鐘，這樣直到終點，通過時間微不足道的迷宮，直到看不見的終點。

笛卡兒、霍布斯、萊布尼茨、密爾、勒努維埃、格奧爾格·康托爾、貢珀茨、羅素和柏格森都對烏龜悖論提出過解釋——不總是解釋不清和沒有價值的解釋（我已經介紹過一些了）。讀者看到運用這些解釋的也很多。歷史上的解釋沒有耗盡這個悖論：令人目眩的無限減退也許能運用於所有的題目。運用於美學：那行詩由於那個原因而感動了我們，那個原因又是由於另一個原因……用於認識問題：認識是識別，但是為了識別必須先認識，但認識是識別……如何研究這個辯證法？這是研究的正確方法還是一個壞習慣？

單詞的協調序列（其他的不是哲學）可以非常像宇宙，這樣想是冒險的。在這些傑出的協調序列中，某一個——甚至是無限小的——不是比其他序列更相像的，這樣想也是冒險的。我研究了幾個有某種可信程度的序列，我大膽地認為：只有在叔本華提出的序列中我看到了宇宙的某個特點。根據他的理論，世界是意志的表象。藝術——永遠——永遠需要可見的非現實。我只要舉一個例子就可以了：戲劇中人物隱喻的話語、押韻的話語或者是精心編造的巧合的話語……讓我們承認一切唯心主義者所承認的東西：世界具有引起幻覺的特點。讓我們來做一件任何唯心主義者都沒有做過的事：我們來尋找證實這個特點的非現實。我認為，我們可以在康德的二律背反和芝諾的辯證法中找到它們。

「最大的巫師就是那位把自己的幻覺作為自主的表現形式從而使自己著迷的巫師（諾瓦利斯的話值得銘記）。我們不正是這種情況嗎？」我認為正是這樣。我們（作用在我們身上的不可分的神）夢想世界。我們把世界夢想成在空間中是堅實的、神秘的、無處不在的和在時間中是不可改變的；但是我們承認它的結構上有細小的和永恆的沒有道理的間隙，所以知道它是假的。

希臘島嶼，位於愛琴海。

nicholasofcusa（1401—1464），德國神學家。

一個世紀之後，中國詭辯家惠子說，一根木棍從中間折斷，把另一半再從中間折斷，每天這樣折，永遠也不會把木棍折完。（翟理思：《莊子》，一八八九年，第四百五十三頁）——原注

柏拉圖的《巴門尼德篇》無可否認地受到芝諾的影響，其中提出一個十分相似的論點，說明「一」實際就是「多」。如果有「一」，就兼有「存在」；因而包含了兩部分，即「存在」和「一」，但是每一部分都是「一」，並且由於包含其他兩部分，從而也包含了再其他的兩部分，以此類推，直至無限。羅素（《數理哲學導論》，一九一九年，第一百三十八頁）用算術級數替代了柏拉圖的幾何級數。他認為如果有「一」，就兼有「存在」；但「存在」和「一」有區別，便有了「二」；「存在」和「二」也有區別，便有了「三」，等等。莊子（阿瑟·韋利《古代中國的三種思想方式》，第二十五頁）使用了同樣的無窮無盡的regressus（回返）來駁斥宣稱「萬物」（宇宙）皆「一」的一元論者。他指出：宇宙的統一和宣佈這一統一首先是兩件事；那兩件事和宣佈它們的二元性就成了三件事；那三件事和宣佈它們的三元性就成了四……羅素認為「存在」一詞的模糊足以使論據站不住腳。他還認為數字並不存在，只是邏輯虛構而已。——原注，（王永年譯）

agrippa（活動期在1—2世紀），希臘懷疑論哲學家，既懷疑感覺提供的證明，又懷疑理解的可能性。

hermannlotze（1817—1881），德國宗教哲學家，著有《微觀世界》等。

我根據詹姆斯的表述（《多元宇宙》，一九○九年，第五十五至六十頁）。文切爾的《費希納和洛採》，一九二四年，第一百六十六至一百七十一頁。——原注

charlesrenouvier（1815—1903），法國哲學家。

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