有教唆者和害人者這樣一個概念。我不是指大寫的「壞」，因為它有限的含義隸屬於道德；我是指無限。有一次我曾渴望收集它的歷史成因。人口眾多的伊茲拉（成為幾何級數的先期形式或標誌的沼澤怪胎）給它的守衛一個恰到好處的恐怖；卡夫卡驚悸的噩夢把它推向頂峰，他筆下的主要篇章不是不瞭解那位遙遠的德國紅衣主教——庫薩的尼古拉——的推測，他認為圓周是無限個角組成的多邊形，他寫道，一條無限長的線可能是一條直線、可能是一個圓也可能是球面（《論有學識的無知》，第一章第十三節）。用五六年時間學學形而上學、神學、數學將會使我（也許）能認真地籌劃這本書。生命不讓我有這個希望，更不用說「認真地」這個副詞了，這是無須多說的。
這些文字在某種程度上是從屬於想象中的《關於無限的歷史》這本書的。其目的是談談芝諾第二個悖論的某些變形。
現在，我們來回顧一下這個悖論。
阿喀琉斯比烏龜的速度快十倍，並讓烏龜先跑十米。阿喀琉斯跑完這十米，烏龜向前跑了一米；阿喀琉斯跑完這一米，烏龜向前跑了十釐米；阿喀琉斯跑完這十釐米，烏龜向前跑了一釐米；阿喀琉斯跑完這一釐米，烏龜向前跑了一毫米；飛毛腿阿喀琉斯跑完這一毫米，烏龜向前跑了十分之一毫米，就這樣阿喀琉斯無限地跑下去，永遠也趕不上烏龜……這是習慣的說法。威廉·卡佩勒（《前蘇格拉底》，一九三五年，第一百七十八頁）是直接從亞里士多德的原文譯過來的：「芝諾的第二個悖論人稱阿喀琉斯悖論，他說跑得最慢的人不會被跑得最快的人追趕上，因為追趕的人必須跨越被追趕者剛空下的位置，所以跑得最慢的人總是處於追趕他的人之前的一個特定的距離。」誠然，問題沒有變化；不過我倒是想知道把其稱之為英雄和烏龜的那位詩人的名字。這兩位神奇的選手和下列級數正是他的理由混淆之處：
幾乎沒有人記得他前面的悖論——悖論的蹤跡——雖然他的機制是一樣的。運動是不可能的（芝諾說），因為運動體必須通過中項才能達到目標，在這個中項之前還有中項，另一箇中項之前還有中項，之前還有中項……
亞里士多德第一次向我們提及這些悖論並第一個反駁了它們。他的反駁簡短得具有諷刺味道，但是他的反駁卻激發了他反柏拉圖理論的著名的第三人論據。這個理論想證明：兩個具有相同屬性的個體（例如兩個人）只是一個永恆典型的暫時性外表。亞里士多德發問，眾多的人和大寫的人——即暫時性的人和永恆典型——是否具有相同的屬性。很明顯，是具有相同屬性的，具有人類普遍的屬性。亞里士多德認為，在這種情況下，應該假設一個可以包容他們的另一個典型，然後再有第四個……帕特里西奧·德·阿斯卡拉特在翻譯《形而上學》中的一個註解時，把下面的表述歸於亞里士多德的學生：「若同時肯定的許多屬性是另一個個體，不同於被肯定的屬性（這正是柏拉圖派想要達到的），那麼就必須有第三人。這個名稱適用於別的人和思想。所以，第三人不同於個別的人和思想。同時還有第四人，他同第三人和個別的人和思想也不同；然後又有第五人，直至無限。」我們假設有a和b兩個個體組成c類。則：
a+b=c
但根據亞里士多德，同樣也有：
a+b+c=d
a+b+c+d=e
a+b+c+d+e=f……
其實，不需有兩個個體，只要有一個個體和一個類別就可以確定亞里士多德所揭示的第三人了。伊利亞的芝諾採用無限減退來反對運動和數字；他的反駁者則採用無限減退來反對一般方式。
我雜亂無章的筆記中記下的芝諾的下一個變形是懷疑者阿格里帕。他否認可以證實什麼，因為任何證實都先需要另一項證實。（《虛假姿態》，第一卷第一百六十六頁）第六感覺同樣也認為定義是空洞的，因為需要定義所使用的每一個詞，然後再對定義下定義（《虛假姿態》，第二卷第二十頁）。一千六百年之後，拜倫在《唐璜》的題簽中，引用了柯勒律治的一句詩：我希望他對他的解釋作出解釋。
至此，無限減退用於否定；聖托馬斯·阿奎那利用它來證明上帝的存在（《神學大全》，第一部第二章第三節）。他認為，在宇宙裡沒有東西是沒有有效的產生原因的，而這個原因當然是前面另一個原因的結果。世界是由原因連線成的一條無限的鎖鏈，每個原因都是一個結果。每個狀態都來自前一個狀態並決定下一個狀態，但是，總的系列可能不存在，因為組成它的項是有條件的，也就是說是不定的。但是世界存在著；在那些項裡我們能推斷一個沒有節制的首要原因，它就是神性。這就是宇宙論的證實；亞里士多德和柏拉圖已經提到過它；萊布尼茨重新發現了它。
赫爾曼·洛採指出，regressus（回返）不能理解事物a的變化會使事物b產生變化。他的理由是，如果a和b都是獨立的，假設a對b的影響就是假設第三個成分c，那麼c要使b產生變化必須要有第四個成分d，而d沒有e也不行，e沒有f也不行……為了避免爭吵的增加，他提出的解決方案是在世界上只有一個物體：一個無限的和絕對的實體，它可以和斯賓諾莎的上帝相比。
相似，但令人驚愕的是布拉德利。這位善於思考的人（《現象和實在》，一八九七年，第十九至三十四頁）不僅反對因果關係，他還拒絕所有的關係。他問道，某種關係是否同它們的項有關。他被告知是的並推斷出這是接受另外兩個關係的存在條件，然後還存在其他兩個關係。在部分小於整體這個公理中，他沒有覺察到兩個項和小於這層關係；他覺察到了三個（部分，小於，整體），它們的聯絡意味著還有其他兩個關係，這樣直至無窮。在「胡安是要死的」這個判斷中，他覺察到的是三個我們最終不能把它們聯絡起來的不會混淆的概念（第三個是聯絡動詞）。他把所有的概念都變成了沒有聯絡的物體，困難之極的物體。批駁它是不現實的。
洛採在原因和結果之間加入了芝諾的階段性深淵；布拉德利在主語和謂語之間也這樣做了，雖然不是在主語和表語之間；劉易斯·卡羅爾（《思想》，第二百七十八頁）在三段論法的第二個前提和結論之間也這樣做了。講述了一段無限的對話，對話者是阿喀琉斯和烏龜。在到達他們無休止奔跑的結束點時，兩位奔跑者平靜地談論著幾何學。研究這個清楚的推論：
a）兩件東西都等於第三件東西，則這三件東西相同。
b）這個三角形的二條邊等於mn。
z）這個三角形的二條邊相等。
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