珍品這個詞自相矛盾的內涵——貴重而輕巧，脆弱而不易碎，便於轉讓，清新而又不排斥異質，乃是經久不敗的花朵——完全可以在這裡借用它。我不知道還有其他比它更好的詞來定義阿喀琉斯的悖論。兩千三百多年以來，它面對各種詆譭而巋然不動，我們完全可以為它的不朽而高聲歡呼了。對這種持久體現出來的神秘作不間斷的探索，它對人類機敏無知發出的挑戰，是我們不能不感謝的慷慨。我們再一次提及它，哪怕只是為了對它的迷惑和最本質的秘密表示折服。我想用幾句話——共有的幾分鐘——把它介紹一下並簡述那些反駁它的最有名的論斷。眾所周知，提出這個論點的是伊利亞的芝諾，他是巴門尼德的學生，他否定在宇宙內有發生什麼的可能。
圖書館為我提供了關於這個悖論的兩個文本。第一個是純而又純的《西班牙美洲詞典》第二十三版上的。它把此悖論謹慎地簡縮為一條訊息：運動是不存在的，阿喀琉斯不可能追上遲緩的烏龜。我反對這種審慎的說法，我尋到劉易斯不那麼窘迫的表態，他的《哲學的歷史傳說》是我邊閱讀邊思考的第一本書，我不知是由於自負還是由於好奇，就以這種態度記下了他的表述：象徵快速的阿喀琉斯必定能追上象徵遲緩的烏龜。阿喀琉斯跑得比烏龜快十倍，並讓烏龜先跑十米。阿喀琉斯跑完這十米時，烏龜又向前跑了一米，阿喀琉斯再跑完這一米，烏龜又向前跑了十釐米；阿喀琉斯跑完這十釐米，烏龜又向前跑了一毫米；阿喀琉斯跑完這一毫米，烏龜又向前跑了十分之一毫米，這樣永無盡頭，所以，雖然阿喀琉斯一直跑下去，卻永遠不可能追上烏龜。這就是那個不朽的悖論。
現在我來介紹那些反駁它的看法。久遠年代的那些看法——亞里士多德和霍布斯——包含在斯圖亞特·密爾提出的看法中。他們認為，這個問題不過是混淆不清的謊言之一，並認為可以通過這樣的界定來推翻它：
在詭辯的結論中，永遠是指任何一個可以想象到的時間時段，在其前提中，則指可分割時間的任意個數。這就是說我們可以把十個單位分成十份，其中的一份可以再分成十份，只要我們願意，就可以一直分割下去，跑的路程可以無窮無盡地一直分割下去，因此用於跑的時間也可以一直分割下去。但是分割的無限可以用有限的東西來實施。這個理由僅證實了在五分鐘內的無限而不是別的無限，只要五分鐘沒有過去，剩下的時間就可以用十分割，我們想分割多少次就可以分割多少次，這同在總的時間是五分鐘的情況下是可以共存的。概括地說，它證實跑完這段有限路程需要一個可以無限分割的時間，但不是一個無限的時間（密爾：《邏輯體系》，第五卷第七章）。
我不能預知讀者的看法，但是我認為斯圖亞特·密爾所設計的反駁不過是表達了原悖論而已。只要確定阿喀琉斯每秒鐘跑一米，就可以知道他所需要的時間了。
這個無限的等比級數之和的界限是十二（更確切的是；更精確的是），但是永遠也不能窮盡。這就是說，阿喀琉斯的路程將是無限的，他將永遠跑下去，但是他的奔跑終將在十二米之前變弱，他的永遠奔跑不會超過十二秒。這個有條理的解釋方法，這種向越來越小的前方無限制的奔跑，實際上同悖論是不矛盾的：是要好好地想象它的。我們也不要忘記證實奔跑者減弱速度不僅是由於目標的視覺縮小，還由於他必須跑過的微小位置急劇縮小的原因。我們還得證實，在對不動和減緩速度雙重追求的失望中，這些持續的微小位置侵蝕著空間和以更緊張的活動侵蝕動態的時間。
另一個反駁願望是由亨利·柏格森於一九一○年在他有名的《時間與自由意志》中提出來的，書名就要求有原則。他是這樣說的：
一方面我們把跑過的空間的可分割性用於運動，卻忘記了可以分割物體而不能分割行為；另一方面我們習慣於把這個行為本身置放到空間中去，習慣於把它看作是運動者跑過的一條線，一句話，就是習慣於把它固定下來。我們認為，從混淆運動和跑過的空間中產生了伊利亞學派的詭辯；因為分開兩個點的間隔是可以無限分割的，如果運動是由像間隔之類的東西組成的，那麼間隔是永遠不能逾越的。但事實是，阿喀琉斯跑出的每一步都是一個不可分割的簡單行為，在這個行為實施到一定次數後，阿喀琉斯就會超越烏龜。伊利亞學派的錯覺就來自把一系列個人的特殊行為等同於支援上述行為的均勻空間。由於這個空間可以根據任何規律進行分割和再組合，他們就認為有充分理由來重新組織阿喀琉斯的全部運動，不是用阿喀琉斯的步子，而是用烏龜的步子。實際上是把阿喀琉斯追趕烏龜這件事用兩隻烏龜來代替，按序把一隻烏龜置於另一隻烏龜之上，它們依次用同樣的步子或同樣的動作，使得它們永遠也不能相互追上。為什麼阿喀琉斯能追上烏龜？因為阿喀琉斯的每一步和烏龜的每一步都是同運動一樣不可分割的，但它們的步幅在空間是不同的：所以不用多久就會追上的，阿喀琉斯跑過的空間就像是比烏龜跑過的空間和先跑的優勢更長的長度。這是芝諾在重組阿喀琉斯的運動時沒有考慮到的。對烏龜的運動也是同樣對待的，他忘記了只有空間可以任意組合和再組合，他把空間和運動混淆了。（《時間與自由意志》，西班牙文版，第八十九、九十頁，巴爾納斯譯。我順便糾正了譯者粗心產生的幾個明顯的錯誤。）該說法是有迴旋餘地的。柏格森認為空間是可以無限分割的，但他否認時間也可以這樣分。為了分散讀者的視線，他提出兩隻烏龜，而不是一隻烏龜。他把原來不相干的時間和空間扯在一起：詹姆斯不連續的突發時間；以他完美熱烈的新穎和普遍認為可以無限分割下去的空間。
最後，我談一下我認為唯一具有獨創性的反駁，這種獨創性正是智力的美學所要求的美德。這是羅素提出來的。我是在威廉·詹姆斯那本最有名的著作——《哲學中的一些問題》——中看到的，它提出的全部觀念可以研究羅素以後的作品——《數理哲學導論》（一九一九年），《我們關於外間世界的知識》（一九二六年）——不同凡響，但不令人滿意的和深邃的作品。羅素認為，計數的運算是（本質上）兩個級數的比較。例如：如果埃及所有家庭中的長子，除了居住家門上有一個紅十字的以外，全部被天使殺死，很明顯，有多少個紅十字就有多少個長子免遭殺害，並沒有必要數出有多少個人來。這裡的數字是不確定的；還有其他一些運算，它們的數字也是無限的。數字的自然級數是無限的，但是我們可以證實有多少個奇數就有多少個偶數：
1相對2
3相對4
5相對6，等等
證實它是件輕而易舉的事，但它同下面的證實沒有區別，即有多少數字就有多少3018的倍數：
1倍是3018
2倍是6036
3倍是9054
4倍是12072，等等
同樣也可以證實它的乘方也是這樣的，雖然隨著運算的進行，它的數字越來越大。
3018的1次方為3018
3018的2次方為3018，即9108324
3018的3次方，等等
正確地承認上述事實啟發出一個公式，無限集合——例如：自然數系列——是其成員可展開成無限部分的集合。在這種計數的高位上，部分不會大於整體：宇宙中點的精確數字等於宇宙中一米內點的數字，或一釐米內點的數字，或距最遙遠的星球之距離內的點數。這個聰明的答案可以解決阿喀琉斯的問題。烏龜佔用的每個地方同阿喀琉斯佔用的地方是成比例的，二者之間點點相符的對稱，足以證明它們是一致的。開始時給予烏龜的定量優勢已經絕無殘留：烏龜路程的終點、阿喀琉斯的終點和賽跑中時間的終點，在數字上是同一個。這就是羅素的解決方法。詹姆斯不拒絕對手的技術優勢，但他持有不同的看法。羅素的證明方法（他寫道）迴避了最大的困難，即是關係到無限是不斷增長的範疇，而不是穩定的範疇，這是在他認為路程已跑完、認為問題是平衡路程之事的時候，唯一考慮到的。另一方面，沒有說明是兩個問題：一是各個奔跑者的情況，一是純粹的真空時段，這就出現了困難，它在於有一個先期間隔不斷重複出現和阻擋路程時要追上目標的困難（《哲學中的一些問題》，一九一一年，第一百八十一頁）。
不是我們的多疑，我的介紹已到了尾聲。正如詹姆斯指出的，伊利亞的芝諾的悖論，不僅違反空間的現實，而且也違反了不受影響的和敏感的時間。我補充一點，具體物體的存在，不變化的穩定，生命中一個下午的流動，都會因生命的偶然性而驚訝。這種分解僅是通過無限這個詞，這個令人憂慮的詞（然後是概念）是我們膽大妄為地創造的，一旦把它變為思想，就會爆發和殺死思想。（另有一些反對討論這個如此多變的詞的古老教訓：有中國樑代君王權杖的傳說，每位新君王可得到權杖的一半；這樣權杖就少一半；雖然權杖因君王更迭而縮短，但它始終存在著。）在我介紹的種種極有價值的論點之後，我的意見似乎冒著不適當和平庸的危險。但我還是提出來：芝諾是不可回答的，除非我們相信空間和時間的完美性。讓我們接受理想主義，接受感覺到的會具體成長，讓我們迴避悖論的相對面的集合。
我的讀者可能會問：希臘的這一塊陰暗面會涉及到我們的宇宙觀嗎？
lewes（1817—1878），英國哲學家、批評家。
博爾赫斯說的「中國樑代君王權杖」未見中國正史。《莊子·天下篇》「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」，司馬彪注：「棰，杖也。」博爾赫斯可能把它同秦始皇萬世基業（二世、三世……）的設想糅合起來，並加以發揮。
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