萊布尼茲相信有實際的無窮小，但是這個信念雖然適合他的形而上學，在數學上是沒有確實根據的。十九世紀中葉以後不久，魏爾施特拉斯指明如何不借助無窮小而建立微積分學，因而終於使微積分學從邏輯上講穩固了。隨後又有蓋奧爾克。康託，他發展了連續性和無窮數的理論。
「連續性」
在他下定義以前向來是個含混字眼，對於黑格爾之流想把形而上學的混濁想法弄進數學裡去的哲學家們是很方便的。康託賦予這個詞一個精確含義，並且說明了他所定義的那種連續性正是數學家和物理學家需要的概念。通過這種手段，使大量的神秘玄想，例如柏格森的神秘玄想，變得陳舊過時了。
康託也克服了關於無窮數的那些長期存在的邏輯難題。
拿從1起的整數系列來說，這些數有多少個呢？很明顯，這個數目不是有窮的。到一千為止，有一千個數；到一百萬為止，有一百萬個數。無論你提出一個什麼有窮的數，顯然有比這更多的數，因為從1到該數為止，整整有那麼多數目的數，然後又有別的更大的數。所以，有窮整數的數目必定是一個無窮數。可是現在出了一個奇妙事實：偶數的數目必定和全體整數的數目一般多。試看以下兩排數：
1，2，3，4，5，6，……
2，4，6，8，10，12，……
上排中每有一項，下排中就有相應的一項；所以，兩排中的項數必定一般多，固然下排只是由上排中各項的一半構成的。
1即微積分學；原文是它的舊名稱「infinitesimalcalculus」。——譯者
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第二篇從盧梭到現代34
萊布尼茲注意到了這一點，認為這是一個矛盾，於是他斷定，雖然無窮集團是有的，卻沒有無窮數。反之，蓋奧爾克。康託大膽否定了這是矛盾。他做得對；這只是個奇特事罷了。
蓋奧爾克。康託把「無窮」集團定義成這樣的集團：它具有和整個集團包含著一般多的項的部分集團。他在這個基礎上得以建立起一種極有意思的無窮數的數學理論，從而把以前委棄給神秘玄想和混亂狀態的整個一個領域納入了嚴密邏輯的範圍。
下一個重要人物是弗雷格，他在1879年發表了他的第一部著作，在184年發表了他的「數」的定義；但是，儘管他的各種發現有劃時代的性質，直到1903年我引起大家對他的注意時為止，他始終完全沒得到人的承認。
值得注意的是，在弗雷格以前，大家所提出的一切數的定義都含有基本的邏輯錯誤。照慣例總是把「數」和「多元」當成一回事。但是，「數」的具體例項是一個特指的數，譬如說3，而3的具體例項則是一個特指的三元組。三元組是一個多元，但是一切三元組所成的類——弗雷格認為那就是3這個數本身——是由一些多元組成的一個多元，而以3為其一例項的一般的數，則是由一些多元組成的一些多元所組成的一個多元。由於把這個多元與一個已知的三元組的簡單多元混淆起來，犯了這種基本的語法錯誤，結果弗雷格以前的全部數的哲學成了連篇廢話，是最嚴格意義上的「廢話」。
由弗雷格的工作可以推斷，算術以及一般純數學無非是演繹邏輯的延長。這證明了康德主張的算術命題是「綜合的」
、包含著時間關係的理論是錯誤的。懷特海和我合著的
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44卷三近代哲學
《數學原理》（princi－piamathematica）
中詳細講述瞭如何從邏輯開展純數學。
有一點已經逐漸明白了：哲學中有一大部分能化成某種可稱作「句法」的東西，不過句法這個詞得按照比迄今習用的意義稍廣的意義來使用。有些人，特別是卡爾納普，1曾提出一個理論，認為一切哲學問題實際都是句法問題，只要避開句法上的錯誤，一個哲學問題不是因此便解決了，就是證明是無法解決的。我認為這話言過其實，卡爾納普現在也同意我的看法，但是毫無疑問哲學句法在傳統問題方面的效用是非常大的。
我想簡單解釋一下所謂摹述理論，來說明哲學句法的效用。我所說的「摹述」是指像「美國的現任總統」一類的短語，不用名字來指明一個人或一件東西，而用某種據假定或已知他或它特有的性質。這樣的短語曾造成很多麻煩。假定我說「金山不存在」
，再假定你問「不存在的是什麼？」如果我說「是金山」
，那麼就彷彿我把某種存在歸給了金山。很明顯，我說這話和說「圓正方形不存在」不是一樣的陳述。這似乎意味著金山是一種東西，圓正方形另是一種東西，固然兩者都是不存在的。摹述理論就是打算應付這種困難以及其他困難的。
根據這個理論，一個含有「如此這般者」
（theso－and－so）形式的短語的陳述，若加以正確分析，短語「如此這般