在那之前幾乎沒人注意過《算術基本法則》。很少人費心讀它,理解它的人就更少了。羅素也許是意識到其重要性的第一人。不過,在快速研習弗雷格著作時,他注意到弗雷格忽視了的一個困難。這個困難引起的問題乍看起來不大,但其解決方案很快成了數學基礎的首要問題。

為了提供數的邏輯定義,弗雷格使用了類的概念,他把類定義為概念的外延。於是,概念「男人」和男人的類對應,概念「桌子」和桌子的類對應,依此類推。他系統中的一條公理是,每一個有意義的概念都對應於一個物件,即一個類,即此概念的外延。羅素髮現,經由一串特定的推理,這公理導致一個矛盾。因為給定上述前提,那麼,某些類屬於自身,某些則不是:所有類的類自身也是一個類,所以就屬於自身;男人的類自身不是一個男人,所以不屬於自身。由此就構造出了「所有不屬於自身的類的類」。現在我們問:這個類是不是自身的一個成員?無論回答是或否,都導致矛盾。顯然,如果可從弗雷格的公理中推出一個矛盾,那麼他的邏輯系統之為構築全部數學的基礎,就是不合格的。

發表自己的發現之前羅素寫信到耶拿大學向弗雷格告知此事。那時弗雷格正在準備《算術基本法則》的第二卷;雖然在其中放進了對此悖論的一個匆忙且不成功的回應,但他明白這悖論表明他的整個系統在根本上有缺陷。羅素本人提出,用他稱為「型別論」的策略來避免這個矛盾,對「型別論」的勾勒構成了《數學原則》的附錄二。型別論預設一個物件型別的層級,物件聚集起來可合法地組合在一塊而形成集合:於是,第一層型別是個體,第二層是個體的類,第三層是個體的類的類,依此類推。集合必須是同一型別的物件的集;於是就沒有「是自身成員的類」這種東西了。

型別論確實避免了矛盾,但代價是把一個有點兒特設的尺度引入了系統。或許真有不同型別的事物;或許也真沒有「是自身成員的類」這樣的東西——但這些不太可能是羅素原本打算當作出發點的那種平凡自明的邏輯真理。羅素自己對此並不滿意,他的書結束於一聲檄討:

此困難的完全解決會是什麼,我尚未成功地發現;但因其損害了推理的最終基礎,我誠摯地提請每一個邏輯學學生注意對之的研究。

這正是釣住維特根斯坦所需的餌;照著羅素的建議,他熱切地致力於解決這個悖論。在曼徹斯特的頭兩個學期,他花了許多時間細緻地研習羅素的《數學原則》和弗雷格的《算術基本法則》。1909年4月前的某個時候,他對自己首次嘗試的解決方案作了系統的表述,並寄給了羅素的朋友、數學家和數學史家菲利普e.b.喬丹。

維特根斯坦把自己的解決方案寄給喬丹而不是羅素或弗雷格,也許說明此舉帶有某種程度的試探性。他大概是在《哲學雜誌》(iphilosophical/iimagazine/i)1905年的某一期上瞥見喬丹的名字的,那一期上刊載了喬丹論數學基礎的一篇文章,還有維特根斯坦在曼徹斯特的教授霍勒斯·蘭姆的一篇文章。根據喬丹的通訊記錄本4月20日那一則,他是先跟羅素討論然後才答覆了維特根斯坦的解決嘗試。看上去他倆都不願接受它:

羅素說,我在答覆維特根斯坦(他「解決」了羅素的矛盾)時說的看法跟他自己的看法一致。

據維特根斯坦的姐姐赫爾米勒說,由於當時對數學哲學的著迷,他受盡了兩種衝突的召喚產生的撕扯感的折磨。喬丹對他的「解決」的駁回可能使他服了氣,暫時堅持從事航空學。兩年以後他才又回去面對這一衝突:終於直接聯絡弗雷格和羅素,向他們呈出一種更為深思熟慮的哲學立場。雖然他對哲學問題有足夠的感受力,但仍然有待某個人使他相信自己有哲學天分。

維特根斯坦仍然認為自己對航空工程既無天分也無感覺,但還是堅持設計和建造飛行器引擎的努力。他提出的引擎設計方案儲存了下來,從這個方案裡看出,他的想法是用燃燒室噴出的高速氣體轉動螺旋槳(有點像用軟管中的水壓轉動旋轉式草地噴灑器)。這個想法在根本上有缺陷,而且就驅動一架飛機而言很不實際。不過,第二次世界大戰期間,這個想法被成功地用於某類直升機的設計。

維特根斯坦擁有一個燃燒室,這是一家當地廠商特別為他建造的;他的研究的大量工作是拿各種排放噴嘴在燃燒室裡做實驗。他有位幫手,一位名叫吉姆·巴姆伯的實驗室助理;他後來說吉姆是「我在曼徹斯特期間相處融洽的極少數人之一」。他對自己不得不投身於工程工作的總體性煩躁,其程度由於這差事要求精度的本性而增強了,巴姆伯回憶道:「他神經質的脾氣使他極不適合搞這種研究」:

……事情不對頭時——這是常有的事——他就跺足捶胸、喋喋不休地用德語咒罵。

據巴姆伯說,維特根斯坦午餐後不休息,而是連續地幹到晚上,然後去放鬆:或是在很熱的水裡泡澡(「他常常吹噓水的溫度」),或是聽哈勒交響樂團的音樂會;偶爾巴姆伯陪他去音樂會,巴姆伯描述:「他經常整場音樂會坐在那裡一言不發,完全沉浸其中。」

別的消遣還有跟埃克爾斯一起外出散步;那時埃克爾斯已離開了大學,在曼徹斯特得到了一個工程師職位。某個星期天下午的事留在了埃克爾斯的記憶裡。維特根斯坦決定要去海邊,去布萊克浦。發現沒有合適的火車後,他沒想別的法子,而是提議單為他倆租一趟專列。埃克爾斯最終勸阻了他,勸他採納了不那麼昂貴(雖然照埃克爾斯看還是很奢侈)的方案;他們乘計程車去利物浦,在那兒坐了默西河渡船[26]。

在曼徹斯特的第二年,維特根斯坦放棄了設計和建造噴氣引擎的努力,專心設計螺旋槳。大學很認真地對待他的這項工作,決定給予他一年的研究獎學金;那是他在那兒的最後一年,即1910—1911年。他對自己工作的重要性和原創性足夠自信,為自己的設計申請了專利。他的申請——以及對他的設計「用於航空器的螺旋槳的改進」的一個臨時性描述——的登記日期是1910年11月22日。1911年6月21日他遞交了完整的描述,當年8月17日專利獲得了批准。

然而,相比於在工程領域謀職的決心,此時維特根斯坦對哲學問題的著迷已佔了上風。雖然獎學金又延了一年,而且1911年10月他仍被列為曼徹斯特大學的學生,但他當飛行器製造者的日子已在那年暑假結束了;在那個暑假,「在持續的、無法形容的、幾乎病態的躁動中」,他為自己設想的一本哲學著作擬定了方案。